Question

【題目】某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境：

如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，FN與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P．

所得結(jié)論：

當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：

甲：△AEF的邊AE=____cm，EF=____cm；

乙：△FDM的周長(zhǎng)為16 cm；

丙：EG=BF.

你的任務(wù)：

【1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；

【2】寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程；

【3】當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)：

① 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】

【1】
設(shè)，則

∴

【2】如圖1，∵
∴
又∵
∴
∴，
又∵
，

，，，
∴的周長(zhǎng)

【3】① 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化

理由：如答圖2，設(shè) ，，∴AE=4－，

同上述方法可得

則，=16.

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立

證明：如答圖2，∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱(chēng)，

∴于P，過(guò)G作于K，

∴

在正方形ABCD中，

∴≌

∴ 由上述可知

≌

∴

=4－+x，

S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=，

S =

當(dāng)x=4,即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí),取得最大值，最大值是40.

【解析】（1）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可設(shè)，則 利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EF的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可得到由相似三角形的判定定理可得出再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出各邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出其周長(zhǎng)；
（3）①設(shè)利用勾股定理可得出 同理可知 再由相似三角形的性質(zhì)可得出的周長(zhǎng)，由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理可知≌進(jìn)而可得出四邊形的面積，由其面積表達(dá)式即可求出其面積的最大值．

（1）
設(shè)，則

∴
（2）如圖1，∵
∴
又∵
∴
∴，
又∵
，

，，，
∴的周長(zhǎng)

（3）① 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化

理由：如答圖2，設(shè)

，

∴AE=4－，

同上述方法可得

則，=16.

② 丙同學(xué)的結(jié)論還成立

證明：如答圖2，∵B、F關(guān)于GE對(duì)稱(chēng)，

∴于P，過(guò)G作于K，

∴

在正方形ABCD中，

∴≌

∴ 由上述可知

≌

∴

=4－+x，

S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=，

S =

當(dāng)x=4,即F與AD的中點(diǎn)重合時(shí),取得最大值，最大值是40.