Question

如圖，拋物線經過A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；
（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點代入求出a、b、c的值即可；
（2）因為點A關于對稱軸對稱的點A的坐標為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標即可；
（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，）三點在拋物線上，
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-；

（2）∵拋物線的解析式為：y=x²-2x-，
∴其對稱軸為直線x=-=-=2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，-），
∴設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x-，
當x=2時，y=1-=-，
∴P（2，-）；

（3）存在．
如圖2所示，

①當點N在x軸下方時，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，-），
∴N₁（4，-）；
②當點N在x軸上方時，
如圖，過點N₂作ND⊥x軸于點D，
在△AN₂D與△M₂CO中，

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=，即N₂點的縱坐標為．
∴x²-2x-=，
解得x=2+或x=2-，
∴N₂（2+，），N₃（2-，）．
綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，-），（2+，）或（2-，）．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數與二次函數的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．