Question

如圖，已知四邊形ABCD的對角線AC=BD，AC⊥BD，四邊形A₁B₁C₁D₁的四個頂點A₁、B₁、C₁、D₁分別為AB、BC、CD、DA的中點，四邊形A₂B₂C₂D₂的四個頂點A₂、B₂、C₂、D₂分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點，如果AC=2a，那么S_{四邊形AnBnCnDn}=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是2a²；根據(jù)三角形的中位線定理，得A₁B₁∥AC，A₁B₁=

1

2

AC，則△BA₁B₁∽△BAC，得△BA₁B₁和△BAC的面積比是相似比的平方，即

1

4

，因此四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是四邊形ABCD的面積的

1

2

，即a²；推而廣之，則S_{四邊形AnBnCnDn}=

a2

2n-1

．

解答：解：∵四邊形A₁B₁C₁D₁的四個頂點A₁、B₁、C₁、D₁分別為AB、BC、CD、DA的中點，
∴A₁B₁∥AC，A₁B₁=

1

2

AC．
∴△BA₁B₁∽△BAC．
∴△BA₁B₁和△BAC的面積比是相似比的平方，即

1

4

．
又四邊形ABCD的對角線AC=BD=2a，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD的面積是2a²．
推而廣之，則S_{四邊形AnBnCnDn}=

a2

2n-1

．

點評：此題綜合運用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質(zhì)．
注意：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．