Question

如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在x軸上，且△OAB為等邊三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為    ；
（2）將△OAB繞其中心（等邊三角形外接圓的圓心）旋轉(zhuǎn)60°，得到△O′A′B′．則A，O′兩點(diǎn)間的距離等于    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），代入反比例函數(shù)解析式可得出a的值，繼而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）分兩種情況討論，①順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，②逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依次得出兩點(diǎn)的距離即可．
解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），
將點(diǎn)A（a，a）代入反比例函數(shù)可得：a=，
解得：a₁=，a₂=-（舍去），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3）．
（2）

由（1）可得等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，外接圓的半徑R=2，
①若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)O位于點(diǎn)O'的位置，
∵旋轉(zhuǎn)角為60°，IO'=IA=R，
∴△AIO'是等邊三角形，
∴AO'=R=2；
②若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)O位于O''位置，則此時(shí)AO''=2R=4．
綜上可得O′、A兩點(diǎn)間的距離等于2或4．
故答案為：（，3）、2或4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及圓的知識(shí)，難點(diǎn)在第二問(wèn)，結(jié)合圓進(jìn)行求解是關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論，不要漏解，此題難度較大．