Question

●探究  在圖1中，已知線段AB，CD，其中點分別為E，F(xiàn)．
①若A （-1，0），B （3，0），則E點坐標為

（1，0）

；
②若C （-2，2），D （-2，-1），則F點坐標為

（-2，

1

2

）

；
●歸納  在圖2中，無論線段AB處于坐標系中的哪個位置，當(dāng)其端點坐標為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y） 時，則D點坐標為

（

a+c

2

，

b+d

2

）

．（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示）
●運用  在圖3中，一次函數(shù)y=x-2與反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象交點為A，B．
①求出交點A，B的坐標；
②若以A，O，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結(jié)論求出頂點P的坐標．

Answer 1

分析：探究①②正確作出兩線段的中點，即可寫出中點的坐標；
歸納：過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，則AA'∥BB'∥CC'，根據(jù)梯形中位線定理即可得證；
運用：①解兩函數(shù)解析式組成的方程組即可解得兩點的坐標；
②根據(jù)A，B兩點坐標，根據(jù)上面的結(jié)論可以求得AB的中點的坐標，此點也是OP的中點，根據(jù)前邊的結(jié)論即可求解．

解答：解：探究   ①根據(jù)A （-1，0），B （3，0），線段AB中點為E，
∴E點坐標為：（1，0）；
②根據(jù)C （-2，2），D （-2，-1），線段CD中點為F，
∴F點坐標為：（-2，

1

2

）；
歸納：過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，
則AA'∥BB'∥DD'．
∵D為AB中點，由平行線分線段成比例定理得A'D'=D'B'．
∴OD'=a+

c-a

2

=

a+c

2

即D點的橫坐標是

a+c

2

．
同理可得D點的縱坐標是

b+d

2

．
∴AB中點D的坐標為（

a+c

2

，

b+d

2

）．
故答案為：

a+c

2

，

b+d

2

．
運用：①由題意得

y=x-2 y= 3 x

解得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

∴即交點的坐標為A（-1，-3），B（3，1）．
②當(dāng)AB為對角線時，由上面的結(jié)論知AB中點M的坐標為（1，-1）．
∵平行四邊形對角線互相平分，
∴OM=MP，即M為OP的中點．
∴P點坐標為（2，-2）．（1分）
當(dāng)OB為對角線時，PB=AO，PB∥AO，
同理可得：點P坐標分別為（4，4），
當(dāng)OA為對角線時，PA=BO，PA∥BO，
可得：點P坐標分別為（-4，-4）．
∴滿足條件的點P有三個，
坐標分別是（2，-2），（4，4），（-4，-4）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要探索了：兩點連線的中點的橫坐標是兩點橫坐標的中點，縱坐標是縱坐標的中點．