Question

（2003•岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)M（，0）為Rt△OED斜邊上的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠ODE=90°，過(guò)D作AB⊥DM交x軸的正半軸于A點(diǎn)，交y軸的正半軸于B點(diǎn)，且sin∠OAB=
（1）求：過(guò)E、D、O三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式．
（2）問(wèn)此拋物線頂點(diǎn)C是否在直線AB上，請(qǐng)予以證明；若頂點(diǎn)不在AB上，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）試在y軸上作出點(diǎn)P，使PC+PE為最小，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)（不寫(xiě)作法和證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）作DH⊥x軸于H，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和sin∠OAB=，求出D點(diǎn)坐標(biāo)和E點(diǎn)坐標(biāo)，又知拋物線過(guò)點(diǎn)O，可設(shè)出二次函數(shù)一般式解答；
（2）求出拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線解析式，將頂點(diǎn)C代入直線解析式看是否成立；
（3）作出E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接CE'與y軸交點(diǎn)即為點(diǎn)P，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，存在點(diǎn)P使PC+PE’最小，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)PC+PE最小．
解答：解：作DH⊥x軸于H．
（1）∵點(diǎn)M（，0）為Rt△OED斜邊上的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得OM=ME=DM=，
∴OE=×2=3，
得E（3，0）．
∵AB⊥DM，sin∠OAB=，
∴在Rt△ADM中，AM===．
根據(jù)勾股定理，AD=2，于是在Rt△DHA中，HD=2×sin∠OAB=2×=，
根據(jù)勾股定理，AH==，OH=4-=．
于是D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．
∵拋物線過(guò)E（3，0）、D（，）、O（0，0）三點(diǎn)，
∴設(shè)解析式為y=ax²+bx．
將各點(diǎn)代入解析式得：，
解得a=-，b=，
解析式為y=-x²+x．

（2）∵DA=2，DM=，
∴根據(jù)勾股定理得，AM==，MO=，
∴AO=+==4，
∴得A（4，0）．因?yàn)橹本�過(guò)A（4，0）、D（，）兩點(diǎn)，
設(shè)解析式為y=kx+b，
將A（4，0）、D（，）代入得，
解得，
直線解析式為y=-x+3．
由（1）知拋物線解析式為y=-x²+x，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-=，y==，
即C（，），
代入直線AB的解析式得，-×（）+3=，故頂點(diǎn)在AB上；

（3）作出E點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，
則E‘點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），直線CE′的解析式為y=kx+b，
將C（，）、E‘（-3，0）代入解析式
得，，
解得，
解析式為y=x+，
當(dāng)x=0時(shí)，y=，
即P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．
點(diǎn)評(píng)：此題將直角三角形的性質(zhì)和直線、拋物線相結(jié)合，巧妙利用了坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系，求出所需坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，利用解析式，其它問(wèn)題便可迎刃而解．