Question

已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），圓O的圓心O在AB上，并分別與AC、BC相切于點(diǎn)P、Q．
（1）求∠POQ的大�。ㄓ忙帘硎荆�；
（2）設(shè)D是CA延長線上的一個動點(diǎn)，DE與圓O相切于點(diǎn)M，點(diǎn)E在CB的延長線上，試判斷∠DOE的大小是否保持不變，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，如果AB=m（m為已知數(shù)），cosα=

3

5

，設(shè)AD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（要指出函數(shù)的定義域）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得∠OAP=∠OBQ=α，再由圓O分別和AC、BC相切，推得∠POQ=2α；
（2）先證明△OEM≌△OEQ，得出兩對相等的角：∠MOE=∠QOE，∠MOD=∠POD，則∠DOE=180°-a，從而得出結(jié)論∠DOE的大小保持不變．
（3）由三角函數(shù)的定義，求出AP，DM的長，然后證明△ADO∽△BOE，得出比例式

BE

AO

=

AD

BO

，求得BE、ME，表示出DE=DM+ME=x+

m2

4x

+

3

5

m，寫出所求的函數(shù)解析為y=x+

m2

4x

+

3

5

m(x＞0)．

解答：解：（1）∵AC=BC，
∴∠OAP=∠OBQ=α
∵圓O分別和AC、BC相切于點(diǎn)P、Q，
∴∠OPA=∠OQB=90°，（1分）
∴∠AOP=∠BOQ=90°-α（1分）
∴∠POQ=180°-2（90°-a）=2α（1分）

（2）∠DOE的大小保持不變，（1分）
說明理由如下：
連接OM，由切線長定理，EM=EQ
又∵OM=OQ，OE=OE，
∴△OEM≌△OEQ，
∴∠MOE=∠QOE（1分）
同理，∠MOD=∠POD（1分）
∴∠DOE=

1

2

（∠POM+∠QOM）=

1

2

（360°-∠POQ）=180°-a，
∵a為定值，
∴∠DOE的大小保持不變．

（3）由OP=OQ，并根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得O是AB的中點(diǎn)，
即OA=OB=

1

2

AB=

m

2

，
AP=BQ=AO•cosa=

3

10

m，DM=DP=

3

10

m+x（1分）
在△ADO和△BOE中，∠DAO=∠OBE=180°-α
∵∠ADO+∠AOD=∠OAP=α，
又∵∠BOE+∠AOD=180°-∠DOE=α，
∴∠ADO=∠BOE，于是△ADO∽△BOE（1分）
∴

BE

AO

=

AD

BO

，BE=

AO•BO

AD

=

m2

4x

（1分）
∴ME=QE=QB+BE=

3

10

m+

m2

4x

（1分）
∴DE=DM+ME=

3

10

m+x+

3

10

m+

m2

4x

=x+

m2

4x

+

3

5

m
因此所求的函數(shù)解析為y=x+

m2

4x

+

3

5

m(x＞0)．（1分）

點(diǎn)評：此題作為壓軸題，綜合考查函數(shù)、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識．難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．