Question

如圖，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對(duì)角線ACBD相交于O，∠ACD=6O°，點(diǎn)S，P，Q分別是OD，OA，BC的中點(diǎn)，
（1）求證：△PQS是等邊三角形；
（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；
（3）若△PQS的面積與△AOD的面積的比是7：8，求梯形上、下兩底的比CD：AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接SC、PB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線可判斷出答案．
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及∠AOD=120°可求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，從而可得出答案．
（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），根據(jù)題意表示出兩面積的比，從而可得出答案．
解答：解：如圖，連接SC、PB，
（1）證明：∵ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，
又∵AC、BD相交于O，
∴AO=BO，OC=OD，
∵∠ACD=60°，
∴△OCD和△OAB是等邊三角形，
∵S是OD的中點(diǎn)，
∴CS⊥DO，
在RT△BSC中，Q為BC的中點(diǎn)，SQ是斜邊BC的中線，
∴SQ=BC．
同理BP⊥AC，在RT△BPC中，PQ=BC，
又SP是△OAD的中位線，
∴SP=SQ=PQ，
∴△SPQ是等邊三角形；

（2）∵AB=5，CD=3，
∴可得：CS=，SB=，
∴BC=7，
∴PS=PQ=SQ=，
∴S_△PQS=；

（3）設(shè)CD=a，AB=b（a＜b），
BC²=SC²+BS²=+=a²+b²+ab，
∴S_△SPQ=（a²+ab+b²），
又 ，
∴8×（a²+ab+b²）=7×ab，
即2a²-5ab+2b²=0，
化簡(jiǎn)得 =，
故=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查面積及等積變換，難度較大，注意掌握等腰梯形及等邊三角形的知識(shí)，基本知識(shí)的掌握是解答綜合題的關(guān)鍵．