Question

【題目】如圖，C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB= ，拋物線y=ax2+bx經過點A（4,0）與點（-2,6）.

（1）求拋物線的函數解析式；
（2）直線m與C相切于點A，交y軸于點D，求證：AD//OB；
（3）在（2）的條件下，點P在線段OB上，從點O出發(fā)向點B運動；同時動點Q在線段DA上，從點D出發(fā)向點A運動；點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長，當PQ⊥AD時，求運動時間t的值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx經過點A（4,0）與點（-2,6），

∴

解得

所以拋物線的解析式為y= .

（2）

解：如圖，連接AC交OB于點E，連接OC，BC，

∵OC=BC，AB=AO，

∴AC⊥OB，

∴AD為切線，

∴AC⊥AD，

∴AD//OB.

（3）

解：∵tan∠AOB= ，

∴sin∠AOB= ，

∴AE=OA·sin∠AOB=4× =2.4，

∵AD//OB，

∴∠OAD=∠AOB，

∴OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4× =3，

當PQ⊥AD時，OP=t，DQ=2t，

過O點作OF⊥AD于F，

在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，

由勾股定理得：DF= = =1.8，

∴t=1.8秒.

【解析】（1）將兩點的坐標代入函數解析式，解出a，b的值即可；（2）連接AC交OB于點E，連接OC，BC，又由AO=AB，根據“垂徑定理”可得A平分弧OB，則AC⊥OB，又由AD為切線，則AC⊥AD，則AD//OB.（3）OP=t，DQ=2t，可過O點作OF⊥AD于F，則DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，所以只要求出DF即可，根據tan∠AOB= ，和AD//OB，AO=4可求出.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�