Question

如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連接OE，CD=

3

，∠ACB=30°．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）分別求AB，OE的長；
（3）填空：如果以點(diǎn)E為圓心，r為半徑的圓上總存在不同的兩點(diǎn)到點(diǎn)O的距離為1，則r的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：（1）要證明DE是⊙O的切線，已知OD是圓的半徑，只要證明OD⊥DE即可．
（2）根據(jù)勾股定理可求得BC的長，從而可求得AB，DE的長，再根據(jù)勾股定理即可求得OE的長．
（3）由第二問可知OE的長，根據(jù)題意不難求得圓E的半徑r的取值范圍．

解答：（1）證明：連接BD、OD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=BC，
∴AD=CD．
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：在Rt△CBD中，CD=

3

，∠ACB=30°
∴BC=

CD

cos30°

=2，
∴BD=1，AB=2，
在Rt△CDE中，CD=

3

，∠ACB=30°
∴DE=

1

2

CD=

3

2

，BC=

CD

cos30°

=2
∵OD是圓O半徑，
∴OD=1，
∴OE=

OD2+DE2

=

7

2

．

（3）解：如圖，
當(dāng)圓E的半徑為

7

2

-1時(shí)，OG=1；
當(dāng)圓E的半徑為

7

2

+1時(shí)，OG=1，
故

7

2

-1＜r＜

7

2

+1．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對切線的判定及勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．