Question

【題目】定義：對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2＝ac，則稱(chēng)該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線

（1）請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；

（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對(duì)稱(chēng)軸向下平移3個(gè)單位

①直接寫(xiě)出平移后的新拋物線的解析式；

②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 OBPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；當(dāng)x＝1時(shí)，最大值是3，P（1，﹣2）

【解析】

（1）直接根據(jù)黃金拋物線的定義寫(xiě)一個(gè)解析式即可；

（2）①根據(jù)平移的知識(shí)直接寫(xiě)出新拋物線的解析式；

②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E，若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，進(jìn)而解方程求出x的值；

③過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），先求出BC的直線解析式，進(jìn)而設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2），根據(jù)S四邊形OBPC=S△OBC+S△BPQ+S△CPQ列出x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)以及面積最大值．

解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；

（2）①：y＝x2﹣x﹣2；

②存在點(diǎn)P，如圖1，使四邊形POP′C為菱形．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E

若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO．

連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，

∴OE＝EC＝1，

∴y＝﹣1，

∴x2﹣x﹣2＝﹣1

解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去）

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；

③過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，如圖2

設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），

易得，直線BC的解析式：y＝x﹣2

則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．

S四邊形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ

＝OBOC+QPOF+QPFB＝

＝﹣（x﹣1）2+3，

當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形OBPC的面積最大

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），

四邊形OBPC的面積最大值是3．