Question

（2009•黔東南州）如圖，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面內(nèi)的四條平行直線，且每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在這四條直線上，且正方形ABCD的面積是25．
（1）連接EF，證明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）求h的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ABE和△FBE同底同高，因而面積相等，同理△FBE和△EDF的面積相等，△EDF和△CDF的面積相等，因而△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面積相等．
（2）根據(jù)正方形的面積就可以求出邊長(zhǎng)，得到AE，AB的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得到BE的長(zhǎng)，△ABE的面積是長(zhǎng)方形的面積的，再根據(jù)三角形的面積等于BE•h就可以求出h的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：連接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四邊形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四邊形EBFD為平行四邊形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之間的距離為h，
∴S_△ABE=BE•h，S_△FBE=BE•h，
S_△EDF=FD•h，S_△CDF=FD•h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BE于H點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EM⊥FD于M點(diǎn)，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相鄰的兩條平行直線間的距離為h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分別是AD與BC的中點(diǎn)，
∴AE=AD=，
∴在Rt△ABE中，
BE==，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴．（12分）
方法二：不妨設(shè)BE=FD=x（x＞0），
則S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=，（6分）
又∵正方形ABCD的面積是25，
∴S_△ABE=xh=，且AB=5，
則xh=①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽R(shí)t△HAE，
∴，即，
變形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①兩邊平方后代入②得：=25（x²-5²）③，
解方程③得x=（x=-舍去），
把x=代入①得：h=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理，根據(jù)三角形的面積公式得到四個(gè)三角形的面積相等是解決本題的關(guān)鍵．