Question

（2013•昌平區(qū)二模）如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．點(diǎn)M、N同時(shí)以相同的速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開始在AB、DA上向點(diǎn)B、點(diǎn)A運(yùn)動．
（1）設(shè)ND的長為x，用x表示出點(diǎn)N到AB的距離；
（2）當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，請判斷△AMN的形狀．

Answer 1

分析：（1）首先表示出AN的長，進(jìn)而得出∠PAN的度數(shù)，利用PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）得出即可；
（2）首先得出S_△AMN=

1

2

AM•NP，進(jìn)而得出其最值，利用S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，得出當(dāng)x=10時(shí)，五邊形BCDNM面積最小，進(jìn)而得出△AMN的形狀．

解答：解：（1）過點(diǎn)N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點(diǎn)P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）．
即點(diǎn)N到AB的距離為

1

2

(20-x)．

（2）根據(jù)（1）S_△AMN=

1

2

AM•NP=

1

4

x（20-x）=-

1

4

x2+5x．
∵-

1

4

＜0，
∴當(dāng)x=10時(shí)，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴當(dāng)x=10時(shí)，五邊形BCDNM面積最�。�此時(shí)，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴當(dāng)五邊形BCDNM面積最小時(shí)，△AMN為等腰三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值問題以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)二次函數(shù)最值得出五邊形BCDNM面積最小時(shí)AN、AM的值是解題關(guān)鍵．