Question

如圖，四邊形ABCD的對角線AC、DB相交于點O，已知：AC=BD，∠OBC=∠OCB．
（1）求證：AB=DC；
（2）判別結(jié)論“四邊形ABCD一定是等腰梯形”是否正確，若正確請證明，若不正確請舉出一個反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OC=OB，求出AO=DO，根據(jù)SAS證△AOB≌△DOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；
（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對頂角相等得出∠ADO=∠OBC，推出AD∥BC，得出梯形ABCD，根據(jù)AB=DC即可得出等腰梯形ABCD．
解答：（1）證明：∵∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵AC=BD，
∴OA=OD，
在△AOB和△DOC中
∵，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=DC．

（2）四邊形ABCD一定是等腰梯形，
證明：∵OA=OD，OB=OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OBC=∠OCB，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∠BOC=∠AOD，
∴∠ADO=∠OBC，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是梯形，
∵由（1）知：AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，主要考查了學(xué)生的推理能力，題目比較好，是一道綜合性比較強的題目．