Question

已知雙曲線y=與直線y=相交于A、B兩點(diǎn)，第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D，過(guò)N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C。
（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-8，0），求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及k的值；
（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設(shè)直線AM，BM分別與y軸相交于P，Q兩點(diǎn)，且MA=pMP，MB=qMQ，求p-q的值。

Answer 1

解：（1）∵D（-8，0），
∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-8，代入中，得y=-2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-2），
而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴A（8，2），
從而k=8×2=16；
（2）∵N（0，-n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，
∴B（-2m，-n/2），C（-2m，-n），E（-m，-n），
S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=mn=k，S_△OEN=mn=k，
∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO-S_△DBO-S_△OEN=k，
∴k=4，
由直線y=1/4x及雙曲線y=4/x，
得A（4，1），B（-4，-1），
∴C（-4，-2），M（2，2），
設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，
由C、M兩點(diǎn)在這條直線上解得a=b=2/3，
∴直線CM的解析式是y=2/3x+2/3；
（3）分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，
垂足分別為A₁、M₁，
設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-a，
于是p=（a-m）/m，
同理q=（m+a）/m，
∴p-q=-2。