Question

如圖①，已知：四邊形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），B點(diǎn)在x軸的正半軸上，C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，-4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，依次沿線段OA、AB、BC向點(diǎn)C移動(dòng)。設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路徑為Z，△POC的面積S隨著Z的變化而變化的圖像如圖②所示（其中線段DE//x軸）。
（1）請(qǐng)你確定B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P是經(jīng)過點(diǎn)O、B的拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，
①求此拋物線的解析式；
②在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△PBM與△OBC相似？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

解：（1）過C作CQ⊥x軸于Q點(diǎn)， 由圖（2）得：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B時(shí)， ∵ 即， ∴， ∴B坐標(biāo)（9，0）；

（2）①拋物線經(jīng)過O、B點(diǎn)， ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為， ∴對(duì)稱軸必與邊AB相交, 由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)在直線AB上且也在對(duì)稱軸上， 設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b， 則可得方程  得 ∴ 又由方程組 解之得 ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)拋物線的解析式為 把點(diǎn)O的坐標(biāo)代入得， ∴拋物線的解析式為； ②設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M。 使△PBM與△OBC相似， ∴ （i）當(dāng)時(shí)，△PBM∽△OBC， 即，BM=5， ∴M（4，0） ∴ （ii）當(dāng)時(shí)，△PBC∽△COB， 即，BM=， ∴M（，0） 所以在x軸上存在點(diǎn)M（4，0）和 （，0） 使△PBM∽△OBC相似。