Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)F也從點(diǎn)D出發(fā)沿DC方向相同的速度運(yùn)動(dòng)，記運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0≤t≤4），AF與BE交于P點(diǎn)．
（1）如圖，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AF與BE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，要使得△BPC是等腰三角形，t應(yīng)為何值？請(qǐng)畫出圖形，并求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

【答案】
（1）解：結(jié)論：AF=BE，

證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF．

（2）解：①如圖2中，

當(dāng)CP=CB時(shí)，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M．

∵△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，

∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°

∴∠APE=90°，

∴AF⊥BE，

∴OM∥AP，

∵OP=OB，

∴AM=BM，

∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，

∴∠AEB=∠CMB，

在△ABE和△CBM中，

，

∴△ABE≌△CBM，

∴AE=BM=2，

∴t=2，

②如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，△PBC是等腰三角形，此時(shí)t=4，

③當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)E在點(diǎn)A處，點(diǎn)F在點(diǎn)D處，則AF于BE的交點(diǎn)P于點(diǎn)A重合，此時(shí)，△BPC顯然是等腰直角三角形

∴t=0或2或4時(shí)，△BPC是等腰三角形

【解析】（1）結(jié)論：AF=BE，只要證明△ABE≌△DAF即可．（2）分兩種情形討論：①如圖2中，當(dāng)CP=CB時(shí)，作CM⊥BE垂足為O，交AB于M，先證明AM=BM，再證明△ABE≌△CBM即可，②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，△PBC是等腰三角形，求出t即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等腰三角形的判定和正方形的性質(zhì)，需要了解如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．