Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn).將一個(gè)邊長(zhǎng)足夠大的Rt△DEF的直角頂點(diǎn)E放在點(diǎn)O處，并將其繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點(diǎn)G，EF與BC邊交于點(diǎn)H.

(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC邊什么位置時(shí)，四邊形CGOH是正方形.

(2)等腰直角三角ABC的邊被Rt△DEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長(zhǎng)度之和是否會(huì)發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請(qǐng)求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CGOH是正方形；(2)CG與CH的和不會(huì)發(fā)生變化，CG+CH＝8.

【解析】

(1)由三角形中位線定理可得OG∥BC，OG＝BC，可證四邊形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ACO＝∠COG＝45°，可得CG＝GO，可得結(jié)論；

(2)由“ASA”可證△GOC≌△HOB，可得CG＝BH，即可得CG+CH＝HB+CH＝BC＝8.

解：(1)當(dāng)點(diǎn)G在AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CGOH是正方形，

連接CO，

∵O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，

∴OG∥BC，OG＝BC，

∴∠CGO＝∠C＝90°，

∵∠GOF＝90°，

∴四邊形CGOH是矩形，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AO＝BO，

∴∠ACO＝45°，且∠CGO＝90°，

∴∠ACO＝∠COG＝45°，

∴CG＝GO，

∴矩形CGOH是正方形；

(2)CG與CH的和不會(huì)發(fā)生變化，

理由如下：

連接OC，

∵△ABC是等腰直角三角形且點(diǎn)O為中點(diǎn)

∴∠GCO＝∠B＝45°，∠COB＝90°，CO＝BO

∵∠DOF＝90°＝∠COB，

∴∠GOC＝∠HOB，且CO＝BO，∠GCO＝∠B＝45°，

∴△GOC≌△HOB(ASA)

∴HB＝GC，

∴CG+CH＝HB+CH＝BC

∵AB＝8，

∴BC＝AC＝8

∴CG+CH＝8.