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        1. (2010•揚(yáng)州二模)如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等邊三角形,E是AB的中點(diǎn),連接CE并延長交AD于F.
          (1)求證:△AEF≌△BEC;
          (2)判斷四邊形BCFD是何特殊四邊形,并說出理由;
          (3)如圖2,將四邊形ACBD折疊,使D與C重合,HK為折痕,求tan∠ACH的值.
          分析:(1)①在△ABC中,由已知可得∠ABC=60°,從而推得∠BAD=∠ABC=60°.由E為AB的中點(diǎn),得到AE=BE.又因?yàn)椤螦EF=∠BEC,所以△AEF≌△BEC.
          (2)在Rt△ABC中,E為AB的中點(diǎn),則CE=
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          2
          AB,BE=
          1
          2
          AB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60度.所以FC∥BD,又因?yàn)椤螧AD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,則四邊形BCFD是平行四邊形.
          (3)在Rt△ABC中,設(shè)BC=a,則AB=2BC=2a,AD=AB=2a.設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=3a2.在Rt△ACH中,由勾股定理得AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2.解得x
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          4
          a,即AH=
          1
          4
          a,求得HC的值后,利用tan∠ACH=
          AH
          AC
          求值.
          解答:(1)證明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
          ∴∠ABC=60°.
          在等邊△ABD中,∠BAD=60°,
          ∴∠BAD=∠ABC=60°.
          ∵E為AB的中點(diǎn),
          ∴AE=BE,
          在△AEF和△BEC中
          ∠FAE=∠CBE
          AE=BE
          ∠AEF=∠CEB

          ∴△AEF≌△BEC(ASA).

          (2)解:四邊形BCFD是平行四邊形,
          理由是:在△ABC中,∠ACB=90°,E為AB的中點(diǎn),
          ∴CE=
          1
          2
          AB,BE=
          1
          2
          AB,
          ∴∠BCE=∠EBC=60°.
          又∵△AEF≌△BEC,
          ∴∠AFE=∠BCE=60°.
          又∵∠D=60°,
          ∴∠AFE=∠D=60°.
          ∴FC∥BD.
          又∵∠BAD=∠ABC=60°,
          ∴AD∥BC,即FD∥BC.
          ∴四邊形BCFD是平行四邊形.

          (3)解:∵∠BAD=60°,∠CAB=30°,
          ∴∠CAH=90°.
          在Rt△ABC中,∠CAB=30°,設(shè)BC=a,
          ∴AB=2BC=2a.
          ∴AD=AB=2a.
          設(shè)AH=x,則HC=HD=AD-AH=2a-x,
          在Rt△ABC中,AC2=(2a)2-a2=3a2,
          AC=
          3
          a,
          在Rt△ACH中,AH2+AC2=HC2,即x2+3a2=(2a-x)2
          解得x=
          1
          4
          a,
          即AH=
          1
          4
          a,
          ∴HC=2a-x=2a-
          1
          4
          a=
          7
          4
          a,
          ∴tan∠ACH=
          AH
          AC
          =
          1
          4
          a
          3
          a
          =
          3
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          點(diǎn)評:本題考查了折疊的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)和判定,等邊三角形性質(zhì),含30度角的直角三角形性質(zhì),勾股定理,平行線的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的應(yīng)用,注意:折疊的性質(zhì):折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì),折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.
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          m.

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          (2)如圖2,在10×10的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A(0,0)、B(5,0)、C(3,6)、D(-1,3),
          ①依次連接A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD,四邊形ABCD的形狀是______;
          ②在x軸上找一點(diǎn)P,使得△PCD的周長最短(直接畫出圖形,不要求寫作法),此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為______,最短周長為______

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          (1)求直線AC的解析式;
          (2)點(diǎn)P在線段OB上,設(shè)OP=x,△APC的面積為S.請寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;
          (3)探索:在線段OB上是否存在一點(diǎn)P,使得△APC是直角三角形?若存在,求出x的值,若不存在,請說明理由;
          (4)當(dāng)x=4時(shí),設(shè)頂點(diǎn)為P的拋物線與y軸交于D,且△PAD是等腰三角形,求該拋物線的解析式.(直接寫出結(jié)果)

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          (2)如圖2,在10×10的正方形網(wǎng)格中,點(diǎn)A(0,0)、B(5,0)、C(3,6)、D(-1,3),
          ①依次連接A、B、C、D四點(diǎn)得到四邊形ABCD,四邊形ABCD的形狀是______;
          ②在x軸上找一點(diǎn)P,使得△PCD的周長最短(直接畫出圖形,不要求寫作法),此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為______,最短周長為______

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