Question

已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．現給出四個條件：AC⊥BD；②AC平分對角線BD；
③AD∥BC；④∠OAD=∠ODA．
請你選其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD為菱形”作為命題的結論，編擬一個真命題，并證明．

Answer 1

分析：本題屬于條件開放題，所編命題可以不唯一，如：真命題：若AC⊥BD，AC平分線段BD，AD∥BC，則四邊形ABCD是菱形，證明時可以從對角線上考慮：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD，只要再說明AO與CO相等就可以了，利用③AD∥BC證明三角形全等就可以得到．

解答：解：真命題：若AC⊥BD，AC平分線段BD，AD∥BC，則四邊形ABCD是菱形．
證明：∵AC平分BD，
∴BO=DO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO=∠CBO，
∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AO=CO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形        
又∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題主要考查利用“對角線互相垂直且平分是菱形”判定四邊形是菱形．