Question

【題目】如圖，A，B，C，D四點都在OO上，弧AC＝弧BC，連接AB，CD、AD，∠ADC＝45°．

（1）如圖1，AB是⊙O的直徑；

（2）如圖2，過點B作BE⊥CD于點E，點F在弧AC上，連接BF交CD于點G，∠FGC＝2∠BAD，求證：BA平分∠FBE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，MN與⊙O相切于點M，交EB的延長線于點N，連接AM，若2∠MAD+∠FBA＝135°，MN＝AB，EN＝26，求線段CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）34

【解析】

(1)根據(jù)直徑所對圓周角是直角即可解題;

(2)作輔助線,通過半徑相等得到等腰三角形,由已知的∠FGC＝2∠BAD得到B、G、O、D四點共圓，推出∠ODE＝∠OBG即可解題;

(3)作輔助線,通過直徑所對圓周角是直角得到∠ACB＝90°,根據(jù)2∠MAD+∠FBA＝135°，得到AM＝DM，接著證明△ADR是等腰直角三角形，△ACR≌△CBE（AAS），四邊形OEQM是矩形，再△EQN是等腰直角三角形，△OER是等腰直角三角形，最后通過勾股定理即可解題.

解（1）如圖1，連接BD．

∵，

∴∠BDC＝∠ADC＝45°，

∴∠ADB＝90°，

∴AB是圓O的直徑．

（2）如圖2，連接OG、OD、BD．

則OA＝OD＝OB，

∴∠OAD＝∠ODA，∠OBD＝∠ODB，

∴∠DOB＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，

∵∠FGC＝2∠BAD，

∴∠DOB＝∠FGC＝∠BGD，

∴B、G、O、D四點共圓，

∴∠ODE＝∠OBG，

∵BE⊥CD，∠BDC＝45°，

∴∠EBD＝45°＝∠EDB，

∴∠OBE＝∠ODE＝∠OBG，

∴BA平分∠FBE．

（3）如圖3，連接AC、BC、CO、DO、EO、BD．

∵AC＝BC，

∴AC＝BC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，

延長CO交圓O于點K，則∠DOK＝∠OCD+∠ODC＝2∠ODC＝2∠OBE＝2∠FBA，

連接DM、OM，則∠MOD＝2∠MAD，

∵2∠MAD+∠FBA＝135°，

∴∠MOD+∠FBA＝135°，

∴2∠MOD+2∠FBA＝270°，

∴2∠MOD+∠DOK＝270°，

∵∠AOM+∠DOM+∠KOK＝270°，

∴∠AOM＝∠DOM，

∴AM＝DM，

連接MO并延長交AD于H，則∠MHA＝∠MHD＝90°，AH＝DH，

設MH與BC交于點R，連接AR，則AR＝DR，

∵∠ADC＝45°，

∴∠ARD＝∠ARC＝90°，△ADR是等腰直角三角形，

∴∠BRH＝∠ARH＝45°

∵∠ACR+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACR＝∠CBE，

∴△ACR≌△CBE（AAS），

∴CR＝BE＝ED，

作EQ⊥MN于Q，則∠EQN＝∠EQM＝90°，

連接OE，則OE垂直平分BD，

∴OE∥AD∥MN，

∴四邊形OEQM是矩形，

∴OM＝EQ，OE＝MQ，

延長DB交MN于點P，

∵∠PBN＝∠EBD＝45°，

∴∠BNP＝45°，

∴△EQN是等腰直角三角形，

∴EQ＝QN＝EN＝13，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝OM═13，AB＝2OA＝26，

∴BC＝OC＝26，

∵MN＝AB＝20，

∴OE＝MQ＝MN﹣QN＝20﹣13＝7，

∵∠ORE＝45°，∠EOR＝90°，

∴△OER是等腰直角三角形，

∴RE＝OE＝14，

設BE＝CR＝x，則CE＝14+x，

在Rt△CBE中：BC2＝CE2+BE2，

∴262＝（x+14）2+x2，解得x＝10，

∴CD＝CR+RE+DE＝10+14+10＝34．