Question

如圖，在⊙O中，弧DC=弧DN，點(diǎn)P為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)D作CN的平行線(xiàn)交PN，PC的延長(zhǎng)線(xiàn)于A，B，過(guò)P作PM∥AB交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，
（1）求證：AB為⊙O的切線(xiàn)；
（2）若PN=3AN的值，求

PD

DM

．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由弧DC=弧DN，則知OD⊥CN，又知到AB∥CN，故能證明OD⊥AB，
（2）連接DN，先證△DCP∽△DPM，得到

PD

DM

=

CD

PD

，再證△ADN∽△APD，得到AD=2AN，最后得到

PD

DM

的值．

解答：（1）證明：連接OD，
∵弧DC=弧DN，
∴OD⊥CN，
∵AB∥CN，
∴OD⊥AB，
∴AB為⊙O切線(xiàn)．

（2）解：連接DN，
∵

DC

=

DN

，
∴∠DCN=∠CPD，
又PM∥AB，CN∥AB，
∴CN∥MP，
∴∠DCN=∠M，
∴∠DPC=∠M，又∠CDP=∠PDM，
∴△DCP∽△DPM，
∴

PD

DM

=

CD

PD

，
∵∠DAN=∠PAD，∠ADN=∠APD，
∴△ADN∽△APD，得到AD=2AN，
又

AN

AD

=

DN

PD

=

CD

PD

=

1

2

，
即

PD

DM

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．