Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，C為BD弧的中點(diǎn)，AC、BD交于點(diǎn)E．
（1）求證：△CBE∽△CAB；
（2）若S_△CBE：S_△CAB=1：4，求sin∠ABD的值．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理得出∠DBC=∠BAC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得出兩三角形相似直接證明即可；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方得出AC：BC=BC：EC=2：1，再利用三角形中位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)得出．

解答：（1）證明：∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE與△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）解：連接OC交BD于F點(diǎn)，則OC垂直平分BD
∵S_△CBE：S_△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，則AD：FC=AE：EC=3：1，
設(shè)FC=a，則AD=3a，
∵F為BD的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)，
∴OF是△ABD的中位線，則OF=

1

2

AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，則AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=

AD

AB

=

3a

5a

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，利用未知數(shù)表示出OF=

1

2

AD=1.5a，AB=2OC=5a是解決問題的關(guān)鍵．