Question

已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．
（1）求證：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求證：AH=AO．（初二）

Answer 1

證明：（1）
過O作OF⊥AC，于F，
則F為AC的中點，
連接CH，取CH中點N，連接FN，MN，
則FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，
∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，
∴OM∥AD，BE∥OF，
∵M為BC中點，N為CH中點，
∴MN∥BE，
∴OM∥FN，MN∥OF，
∴四邊形OMNF是平行四邊形，
∴OM=FN，
∵AH=2FN，
∴AH=2OM．

（2）證明：連接OB，OC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OB=2OM=AH=AO，
即AH=AO．