Question

【題目】如圖：三角形ABC內(nèi)接于圓O，∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點(diǎn)E，延長AE交外接圓O于點(diǎn)D，連接BD，DC，且∠BCA=60°

（1）求∠BED的大�。�

（2）證明：△BED為等邊三角形；

（3）若∠ADC=30°，圓O的半徑為r，求等邊三角形BED的邊長．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）證明見解析；（3）r．

【解析】

試題（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線定義求出∠ABE+∠BAE的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解；

（2）根據(jù)在同一個(gè)圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ADB=∠BCA=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DBE=60°，然后即可得證；

（3）根據(jù)∠ADC=30°可以求出∠BDC=90°，從而得到BC是圓的直徑，然后求出∠ABC=30°，所以∠CBE=15°，然后求出∠DBC=45°，得到△BDC是等腰直角三角形，邊長BD=BC．

試題解析：（1）∵∠BCA=60°，

∴∠BAC+∠ABC=180°-∠BCA=180°-60°=120°，

∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE，BE相交于點(diǎn)E，

∴∠ABE+∠BAE=（∠BAC+∠ABC）=×120°=60°，

∴∠BED=∠ABE+∠BAE=60°；

（2）證明：∵∠BCA=60°，

∴∠ADB=∠BCA=60°，

∴∠DBE=180°-∠BED-∠ADB=180°-60°-60°=60°，

∴△BED為等邊三角形；

（3）∵∠ADC=30°，∠ADB=60°，

∴∠BDC=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，

∴BC是⊙O的直徑，

∵∠BCA=60°，

∴∠ABC=90°-60°=30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=15°，

∴∠DBC=∠DBE-∠CBE=60°-15°=45°，

∴BD=BCcos45°=2r×=r．

即等邊△BED的邊長為r．