Question

（2009•荊門）如圖，在?ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求證：A、E、C、F四點(diǎn)共圓；
（2）設(shè)線段BD與（1）中的圓交于M、N．求證：BM=ND．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要證明A、E、C、F四點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則該四點(diǎn)共圓．
（2）連接AC交BD于O，則O是該圓的圓心，OM=ON，所以易證BM=ND．
解答：證明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC=∠AFC=90°．
∴∠AEC+∠AFC=180°．
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓；

（2）由（1）可知，圓的直徑是AC，設(shè)AC、BD相交于點(diǎn)O；
∵ABCD是平行四邊形，
∴O為圓心，OB=OD，
∴OM=ON，
∴OB-OM=OD-ON，
∴BM=DN．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四點(diǎn)共圓的判定條件及平行四邊形的性質(zhì)．