Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于A、C兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PE∥BC交AB于點(diǎn)E．
（1）求證：

AE

BE

=

BD

DC

；
（2）若△PAE、△PCD的面積分別為4、9，求

AP

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）有平行線可得對(duì)應(yīng)線段的比值相等：

AE

BE

=

AP

PC

和

AP

PC

=

BD

DC

，問(wèn)題得證．
（2）若兩三角形相似，則面積比等于相似比的平方，根據(jù)這一性質(zhì)可先求的△PAE與△PCD相似，進(jìn)而求得

AP

AC

的值．

解答：（1）證明：∵PE∥BC，
∴

AE

BE

=

AP

PC

，
∵PD∥AB，
∴

AP

PC

=

BD

DC

，
∴

AE

BE

=

BD

DC

；

（2）解：∵PE∥BC，PD∥AB，
∴∠APE=∠C，∠A=∠DPC，
∴△AEP∽△PDC，
∴

S△AEP

S△PDC

=(

AP

PC

)2，
即

4

9

=(

AP

PC

)2，
∴

AP

PC

=

2

3

，
∴

AP

AC

=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．