Question

已知二次函數(shù)y₁=x²-2x-3．
（1）結(jié)合函數(shù)y₁的圖象，確定當(dāng)x取什么值時(shí)，y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，確定函數(shù)y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）關(guān)于x的解析式；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與函數(shù)y₂的圖象交于三個(gè)不同的點(diǎn)，試確定實(shí)數(shù)k與b應(yīng)滿足的條件？

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)圖象可以很容易的得出y₁＞0，y₁=0，y₁＜0時(shí)x所取的值；
（2）由圖象可以看出，當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，|y₁|=y₁；當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，|y₁|=-y₁，則可分段確定出y₂關(guān)于x的解析式；
（3）若一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，只需一次函數(shù)的圖象與函數(shù)y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)即可．

解答：解：（1）畫出函數(shù)y₁=x²-2x-3的圖象，
利用它的圖象可知：當(dāng)x＜-1或x＞3時(shí)，y₁＞0；
當(dāng)x=-1或x=3時(shí)，y₁=0；
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y₁＜0；

（2）根據(jù)（I）的結(jié)論，可得
當(dāng)x≤-1或x≥3時(shí)，|y₁|=y₁，
于是函數(shù)y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（y₁-y₁）=0，
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，|y₁|=-y₁，
于是函數(shù)y₂=

1

2

（|y₁|-y₁）=

1

2

（-y₁-y₁）=-y₁
∴函數(shù)y₂關(guān)于x的解析式為y2=

0(x≤-1或x≥3) -x2+2x+3(-1＜x＜3)

；

（3）由題設(shè)條件，k≠0時(shí)，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
只需一次函數(shù)的圖象與函數(shù)y₂的圖象在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即方程組

y=kx+b y=-x2+2x+3(-1＜x＜3)

有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
消去y，得：
x²+（k-2）x+（b-3）=0．
即只需二次函數(shù)y=x²+（k-2）x+（b-3）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)在-1＜x＜3范圍
內(nèi)．此時(shí)，應(yīng)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
①判別式△=（k-2）²-4（b-3）＞0．
即b＜

1

4

(k-2)2+3，
②二次函數(shù)y=x²+（k-2）x+（b-3）圖象的對(duì)稱軸為x=

k-2

2

滿足-1＜-

k-2

2

＜3
得-4＜k＜4．
又k≠0，
∴-4＜k＜0或0＜k＜4．
③當(dāng)x=-1與x=3時(shí)，y=x²+（k-2）x+（b-3）的函數(shù)值均應(yīng)大于0，
即

(-1)2+(k-2)×(-1)+(b-3)＞0 9+3(k-2)+(b-3)＞0

解得

b＞k b＞-3k

∴當(dāng)k＞0時(shí)，有b＞k；
當(dāng)k＜0時(shí)，有b＞-3k．
綜上，由（1）（2）（3）知，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與函數(shù)y₂的圖象有三個(gè)不
同的交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足

-4＜k＜0 -3k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

或

0＜k＜4 k＜b＜ 1 4 (k-2)2+3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由函數(shù)圖象確定函數(shù)解析式以及直線與拋物線的交點(diǎn)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．