Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，銳角∠DAB的平分線AC交⊙O于點C，作CD⊥AD，垂足為D，直線CD與AB的延長線交于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）過點O作線段AC的垂線OE，垂足為E（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（3）若CD=4，AC=4

5

，求垂線段OE的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由CD為圓O的切線，根據(jù)切線性質(zhì)得到OC與CD垂直，又AD與CD垂直，根據(jù)平面上垂直于同一條直線的兩直線平行得到AD與OC平行，由平行得一對內(nèi)錯角相等，又因為兩半徑OA與OC相等，根據(jù)等邊對等角，得到一對相等的角，利用等量代換，即可得到∠DAC=∠OAC，即AC為∠DAB的平分線；
（2）以O(shè)為圓心，以大于O到AC的距離為半徑畫弧，與AC交于兩點，分別以這兩點為圓心，以大于這兩點之間距離的一半長為半徑在AC的另一側(cè)畫弧，兩弧交于一點，經(jīng)過此點與點O確定一條直線，即為所求的直線，如圖所示；
（3）在直角三角形ACD中，由CD和AC的長，利用勾股定理求出AD的長，再根據(jù)垂徑定理，由OE與AC 垂直，得到E為AC中點，求出AE的長，由（1）推出的角平分線得一對角相等，再由一對直角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，由相似得比例即可求出OE的長．

解答：（1）證明：連接OC，
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAB；（3分）

（2）解：點O作線段AC的垂線OE如圖所示：
∴直線OE所求的直線；

（3）解：在Rt△ACD中，CD=4，AC=4

5

，
∴AD=

AC2-CD2

=

(4 5 )2-42

=8，（6分）
∵OE⊥AC
∴AE=

1

2

AC=2

5

，（7分）
∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC，
∴△AEO∽△ADC，
∴

OE

CD

=

AE

AD

，（8分）
∴OE=

AE

AD

×CD=

2 5

8

×4=

5

即垂線段OE的長為

5

．（9分）．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理．遇到圓的切線時，往往連接切點與圓心，運用切線性質(zhì)將相切轉(zhuǎn)化為垂直，來解決數(shù)學(xué)問題，同時要求學(xué)生作下一問時，要善于利用前面得出的結(jié)論．此題的第二問是尺規(guī)作圖題，鍛煉了學(xué)生的動手操作能力．