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        1. 已知:點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(與A、B兩點(diǎn)不重合).在同一平面內(nèi),把線段AP、BP分別折成△CDP、△EFP,其中∠CDP=∠EFP=90°,且D、P、F三點(diǎn)共線,如圖所示.
          (1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;
          (2)若AB=12,tan∠C=
          4
          3
          ,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.
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          (1)設(shè)DP=x,PF=y,
          ∵△CDP和△EFP都是等腰直角三角形,且∠CDP=∠EFP=90°,
          ∴CD=DP=x,EF=PF=y,PC=
          2
          x
          ,PE=
          2
          y

          ∴AB=AP+PB=CD+DP+PC+PF+EF+PE
          =x+x+
          2
          x
          +y+y+
          2
          y

          =(2+
          2
          )(x+y),
          ∵DF=2,
          ∴x+y=2.
          ∴AB=(2+
          2
          )×2=4+2
          2
          ;

          (2)連接CE.
          由于tan∠C=
          4
          3
          ,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,因此分兩種情況考慮.
          ①當(dāng)∠DCP=∠PEF時(shí),
          設(shè)DP=4m,PF=4n,則CD=3m,EF=3n,
          根據(jù)勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
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          ∵AB=CD+PC+DP+PE+EF+PF=12(m+n)=12,
          ∴m+n=1,
          ∵S四邊形CDFE=
          1
          2
          (3m+3n)(4m+4n),
          =6(m+n)2
          =6,
          當(dāng)∠DCP=∠EPF時(shí),
          設(shè)DP=4m,PF=3n,則CD=3m,EF=4n,
          根據(jù)勾股定理,可得CP=5m,PE=5n.
          ∵AB=12(m+n)=12,
          ∴m+n=1.
          ∵m>0,n>0,
          ∴S四邊形CDFE=
          1
          2
          (3m+4n)(4m+3n)
          =
          1
          2
          (12m2+25mn+12n2)
          =
          1
          2
          [12(m+n)2+mn]

          =
          1
          2
          (12+mn)
          =6+
          1
          2
          mn>6,
          綜上所述,四邊形CDFE的面積的最小值為6.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;
          (2)若AB=12,tan∠C=
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          ,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.

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          (1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;

          (2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.

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          (1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;
          (2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.

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          (1)若△CDP、△EFP均為等腰三角形,且DF=2,求AB的長;
          (2)若AB=12,tan∠C=,且以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形和以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形相似,求四邊形CDFE的面積的最小值.

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