Question

【題目】如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC＝8cm，射線AG∥BC，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）

（1）填空：當(dāng)t為　 　s時(shí)，△ABF是直角三角形；

（2）連接EF，當(dāng)EF經(jīng)過AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，四邊形AFCE是否是特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）四邊形AFCE是平行四邊形，證明見解析；

【解析】

（1）△ABF中，由△ABC是等邊三角形可知∠B=60°≠90°，所以∠BAF與∠AFB可以等于90°，需分類討論．畫出圖形，利用特殊三角函數(shù)值求出BF的長，除以點(diǎn)F速度即求得t的值．
（2）由AG∥BC可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，再加上點(diǎn)D為AC中點(diǎn)易證△ADE≌△CDF，進(jìn)而得DE=DF，根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFCE為平行四邊形．再求此時(shí)AE、CF的長，說明∠AFC不等于90°和AF≠AE，排除四邊形AFCE是菱形或矩形．

解：（1）∵等邊△ABC中，BC＝8cm

∴∠ABC＝60°≠90°，AB＝BC＝8cm

①如圖1，若∠AFB＝90°，則∠BAF＝30°

∴BF＝AB＝4cm

∴t＝BF÷2＝2（s）

②如圖2，若∠BAF＝90°，則∠AFB＝30°

∴BF＝2AB＝16cm

∴t＝BF÷2＝8（s）

故答案為：2或8．

（2）四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下：

如圖3，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H

∵∠ABC＝60°，AB＝8cm

∴sin∠ABC＝，cos∠ABC＝

∴AH＝AB＝4cm，BH＝AB＝4cm

∵AG∥BC

∴∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD

∵點(diǎn)D是AC中點(diǎn)

∴AD＝CD

在△ADE與△CDF中

∴△ADE≌△CDF（AAS）

∴DE＝DF

∴四邊形AFCE是平行四邊形

∴AE＝CF

∵AE＝t，CF＝BC﹣BF＝8﹣2t

∴t＝8﹣2t

解得：t＝

∴AE＝cm，BF＝cm

∴BF＞BH，AF＞AH，∠AFC＞90°

∴AF≠AE

∴四邊形AFCE不是菱形或矩形，四邊形AFCE是平行四邊形．