Question

如圖，已知四邊形ABCD，過(guò)它的四個(gè)頂點(diǎn)分別作對(duì)角線AC、BD的平行線，圍成的四邊形EFGH
（1）四邊形EFGH是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的判斷；
（2）當(dāng)四邊形ABCD是等腰梯形時(shí)，相應(yīng)的四邊形EFGH一定是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種？證明你的結(jié)論；
（3）要使四邊形EFGH是矩形，則原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？（只要寫出必要的條件，不需證明）
（4）解決了（1）、（2）、（3）小題后，你還有哪些發(fā)現(xiàn)？（至少寫一條）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件證明四邊形EFGH的兩組對(duì)邊平行即可；
（2）根據(jù)等腰梯形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)和判定方法分別證明即可；
（3）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得EFGH為平行四邊形，再加上條件AC⊥BD，可證明∠E=90°，繼而得到答案；
（4）寫一個(gè)自己認(rèn)為正確的結(jié)論即可，答案不唯一．

解答：（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時(shí)，EFGH為平行四邊形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．

（2）①四邊形ABCD是等腰梯形時(shí)，四邊形EFGH為矩形，
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴四邊形EFGH為矩形；

②若ABCD為矩形，則EFGH為菱形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均為平行四邊形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∵四邊形ABCD為矩形．
∴AC=BD．
∴EF=AC=HG=EH=BD=GF．
∴四邊形EFGH為菱形．

③若ABCD為菱形，四邊形EFGH為矩形．
證明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EAOB，EFGH均為平行四邊形，
∴∠AOB=∠E，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四邊形EFGH為矩形；

④若ABCD為正方形，四邊形EFGH為正方形，
證明：∵ABCD為正方形，
∴DB=AC，AC⊥BD，
∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥GF．
∴四邊形EACF，ACGH，EHDB，BDGF，EFGH均為平行四邊形．
∴EF=AC=HG，EH=BD=GF．
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四邊形EFGH為菱形，
∴AC⊥DB，
∴∠AOB=90°，
∴∠E=90°，
∴四邊形EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH為正方形；

（3）當(dāng)平行四邊形EFGH是矩形時(shí)，四邊形ABCD必須滿足：對(duì)角線互相垂直．

（4）當(dāng)平行四邊形EFGH是菱形時(shí)，四邊形ABCD必須滿足：對(duì)角線相等．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是熟練掌握特殊四邊形的判定與性質(zhì)定理．