Question

在直角坐標系xOy中，設點A（0，t），點Q（t，b）（t，b均為非零常數），平移二次函數y=-tx²的圖象，得到的拋物線F滿足兩個條件：①頂點為Q；②與x軸相交于B，C兩點（|OB|＜|OC|），連接AB。

（1）是否存在這樣的拋物線F，使得|OA|²=|OB|·|OC|？請你作出判斷，并說明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求拋物線F對應的二次函數的解析式。

Answer 1

解：（1）∵平移y=-tx²的圖象得到的拋物線F的頂點為Q，
∴拋物線F對應的解析式為：y=-t（x-t）²+b，
∵拋物線與x軸有兩個交點，∴tb＞0，令y=0，得OB=，OC=，
∴|OB|·|OC|=，即，
所以當b=2t³時，存在拋物線F使得|OA|²=|OB|·|OC|；
（2）∵AQ∥BC，
∴t=b，得F：y=-t（x-t）²+t，
解得x₁=t-1，x₂=t+1，
在Rt△AOB中，①當t＞0時，由|OB|＜|OC|，得B（t-1，0），
當t-1＞0時，由tan∠ABO=，解得t=3，
此時，二次函數解析式為y=-3x²+18x-24；
當t-1＜0時，由tan∠ABO=，解得t=，
此時，二次函數解析式為；
②當t＜0時，由|OB|＜|OC|，將-t代t，可得t=-，t=-3，
所以二次函數的解析式為或。