Question

如圖，?ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段BO上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、O不重合），連接CE，過A點(diǎn)作AF∥CE交BD于點(diǎn)F，連接AE與CF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）當(dāng)BA=BC=2，∠ABC=60°時(shí)，?AECF能否成為正方形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為AE∥CF，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來解決．
（2）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，和∠ABC=60°，可求得∠AOB=90°，從而可證四邊形AECF是正方形．再利用勾股定理求出BO的長(zhǎng)．然后減去OE的長(zhǎng)即可求得BE的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴△AFD≌△BEC，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

（2）解：能．
∵BA=BC=2，
∴AC=2，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC=1，
∵∠ABC=60°，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°（菱形的對(duì)角線互相垂直且平分），
∴四邊形AECF是正方形．
∴OE=OF=AO=OC=1，
∴BO=

AB2-CO2

=

3

，
∴BE=BO-OE=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．