Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立；（3）20.

【解析】

試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出BC=CD，∠B=∠ADC=90°，通過(guò)證明△CBE≌△CDF就可以得出結(jié)論；

（2）由條件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通過(guò)證明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）連接DE，在R△AED中，由勾股定理就可以得出DE的值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．

∴∠CDF=∠B=90°．

在△CBE和△CDF中

，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCG+∠DCF=45°

∴∠ECG=∠FCG．

在GCE和△GCF中

，

∴GCE≌△GCF，

∴GE=GF．

∵GF=GD+DF，

∴GF=GD+BE，

∴GE=BE+GD；

（3）連接DE，

根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG，

設(shè)DE=x，則DG=x-8，

∴AD=AG-DG=32-x，AE=AB-BE=24-8=16．

在Rt△AED中

∵DE2=AD2+AE2，即x2=（32-x）2+162

解得：x=20．

∴DE=20．