Question

在△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD=12，能完全覆蓋△ABC的圓的半徑R的最小值為

 

．

Answer 1

分析：分兩種情況：如果△ABC是銳角三角形或鈍角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓必然是△ABC的外接圓．因而求外接圓的半徑即可，為此，作過(guò)B點(diǎn)作△ABC的外接圓直徑BE，連接AE．在△BAE與△ADC中，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可證得△BAE∽△ADC．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得直徑BE的長(zhǎng)，那么半徑R即可知．

解答：解：分兩種情況：
①如果△ABC是銳角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓必然是△ABC的外接圓，
連接BO，并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓O于點(diǎn)E，并連接AE，
則∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴

BE

AC

=

AB

AD

，
即 BE=

AB

AD

•AC=

15

12

•13=

65

4

，
又∵BE是⊙O的直徑，
∴BO=

1

2

BE=

65

8

；
②如果△ABC是鈍角三角形，那么能完全覆蓋△ABC的最小圓為最長(zhǎng)邊AB的一半，
故R=

15

2

=7.5．
故答案為：7.5或

65

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等求得直徑BE的長(zhǎng)．