Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（2，-3a），對稱軸是直線x=1，頂點(diǎn)是M．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）經(jīng)過C，M兩點(diǎn)作直線與x軸交于點(diǎn)N，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)直線y=-x+3與y軸的交點(diǎn)是D，在線段BD上任取一點(diǎn)E（不與B，D重合），經(jīng)過A，B，E三點(diǎn)的圓交直線BC于點(diǎn)F，試判斷△AEF的形狀，并說明理由；
（4）當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時，（3）中的結(jié)論是否成立（請直接寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析：（1）依題意聯(lián)立方程組求出a，b的值后可求出函數(shù)表達(dá)式．
（2）分別令x=0，y=0求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后易求直線CM的解析式．證明四邊形ANCP為平行四邊形可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)D，B的坐標(biāo)．然后證明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可證得三角形AEF是等腰直角三角形．
（4）根據(jù)（3）中所求，即可得出當(dāng)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時，（3）中的結(jié)論仍成立．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

-3a=4a+2b-3 - b 2a =1

，
解得

a=1 b=-2

，
∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x²-2x-3；

（2）存在．連接AP，CP，
如下圖所示：

在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，
∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)M（1，-4），
容易求得直線CM的表達(dá)式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2，
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2．
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四邊形ANCP為平行四邊形，此時P（2，-3）；

（3）
△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵點(diǎn)C（0，-3），
∴OB=OC．
∴∠OBC=45度，
由圖知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形；

（4）當(dāng)點(diǎn)E是直線y=-x+3上任意一點(diǎn)時，（3）中的結(jié)論：△AEF是等腰直角三角形成立．

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰直角三角形的判定以及二次函數(shù)結(jié)合圖形的應(yīng)用，難度較大．