Question

在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AD=3

3

，DE=

3

．
求證：
（1）EF∥BC；
（2）AF=2EF．

Answer 1

分析：（1）連接OE，則OE⊥EF；根據(jù)圓周角定理知點(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，所以由垂徑定理知OE⊥BC，故EF∥BC；
（2）根據(jù)EF∥BC得AD：DE=AB：BF=3：1．根據(jù)切割線定理得EF與AF的關(guān)系式．

解答：證明：（1）連接OE．
∵EF切⊙O于點(diǎn)E，則OE⊥EF．
∵AE平分∠BAC，∴

BE

 =

EC

．
∴OE⊥BC．
∴EF∥BC．

（2）∵EF∥BC，AD=3

3

，DE=

3

．
∴AD：DE=AB：BF=3：1．
∴BF=

1

4

AF．
∵FE是切線，F(xiàn)A是割線，
∴EF²=FB•FA=

1

4

FA²，
∴EF=

1

2

FA，即AF=2EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查切線的性質(zhì)、平行線分線段成比例、切割線定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．