Question

在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（18，0），B（18，8），C（6，8），四邊形OABC是梯形，點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別做勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位，當(dāng)這兩點(diǎn)有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)則另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)從出發(fā)起，運(yùn)動(dòng)了t秒．
①求直線OC的解析式．
②試寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，并寫出此時(shí)t的取值范圍．
③從運(yùn)動(dòng)開始，梯形被直線PQ分割后的圖形中是否存在平行四邊形，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
④t為何值時(shí)，直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法根據(jù)點(diǎn)O、點(diǎn)C的坐標(biāo)就可以求出直線的解析式．
（2）分Q在OC上，和在CB上兩種情況進(jìn)行討論．利用直線OC的解析式就可以求出Q點(diǎn)在OC上和CB上的坐標(biāo)．即0≤t≤5和5＜t≤10兩種情況．
（3）當(dāng)CQ=OP時(shí)，四邊形OPQC是平行四邊形，就可以表示出CQ=3t-10，OP=2t，由平行四邊形的性質(zhì)就可以求出t的性質(zhì)，然后根據(jù)t的取值范圍就可以確定值的存在性．
（4）直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分從兩種情況進(jìn)行計(jì)算．當(dāng)五邊形CQPAB為7份時(shí)和四邊形BQPA為1份時(shí)分別計(jì)算出t的值就可以了．

解答：解：（1）設(shè)OC的解析式為y=kx+b，
∵O、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），C（6，8），
∴

b=0 8=6k

，解得：k=

4

3

，b=0，
∴y=

4

3

x；
（2）當(dāng)Q在OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可設(shè)Q（m，

4

3

m），
依題意有：m²+（

4

3

m）²=（3t）²
∴m=

6

5

t，
∴Q（

9

5

t，

12

5

t），（0≤t≤

10

3

）
當(dāng)Q在CB上時(shí)，Q點(diǎn)所走過的路程為3t，
∵OC=10，
∴CQ=3t-10，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3t-10+6=3t-4，
∴Q（3t-4，8），（

10

3

＜t≤

22

3

）．
（3）當(dāng)四邊形OPQC是平行四邊形時(shí)，
∴CQ=OP．
∵CQ=3t-10，OP=2t，
∴3t-10=2t，
∴t=10．
∵t≤

22

3

，
∴不存在四邊形
當(dāng)四邊形PABQ為平行四邊形時(shí)，
∴BQ=PA，
∵BQ=22-3t，PA=18-2t，
∴22-3t=18-2t，
∴t=4
（4）∵A（18，0），B（18，8），C（6，8），
∴OA=18，BC=12，AB=8，
∴S_{四邊形OABC}=

8(12+18)

2

=120
∵直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7，設(shè)兩部分的面積分別為x、7x，
∴x+7x=120，
∴x=15，
當(dāng)

2t• 12 5 t

2

=15時(shí)，t=

5

2

，
當(dāng)

8(3t-10+2t)

2

=120-15時(shí)，t=

29

4

．
綜上所述當(dāng)t=

5

2

或t=

29

4

時(shí)直線PQ把梯形OCBA分成面積為1：7的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形的性質(zhì)，函數(shù)自變量的取值范圍，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，平行四邊形的判定，梯形的面積的運(yùn)用．