Question

【題目】（1）如圖①，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) G 是 BC 上的任意一點(diǎn)，BF AG 于點(diǎn) F，DE AG于點(diǎn) E，探究 BF，DE，EF 之間的數(shù)量關(guān)系．第一學(xué)習(xí)小組合作探究后，得到DE–BF= EF，請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；

（2）若（1）中的點(diǎn) G 在 CB 的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出圖形，并直接寫出此時(shí) BF，DE，EF 之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖 ③ ，四邊形 ABCD 內(nèi)接于 ⊙O，AB=AD，E ，F 是AC 上的兩點(diǎn)，且滿足∠AED=∠BFA=∠BCD．試判斷 AC，DE，BF 之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF=BF+DE；（3）AC=BF+DE，證明見(jiàn)解析

【解析】（1）∵正方形ABCD，BF⊥AG，DE⊥AG

∴ AB=AD，

∠BAF+∠DAE=∠BAF+∠ABF=∠AFB=∠DEA=900

∴∠DAE=∠ABF

∴△ADE≌△BAF

∴BF=AE，AF=DE

∴ EF= AF –AE = DE– BF

（2）作圖如圖所示

EF=BF+DE

（3）∵ 四邊形ABCD內(nèi)接于圓

∴ ∠BCD+∠BAD=1800

∵ ∠AED=∠BCD，∠AED+∠DEC=1800

∴∠BAD=∠DEC

∵ ∠BAD=∠1+∠2，∠DEC=∠1+∠3

∴∠2=∠3

∵∠AED=∠BFA，AB=AD

∴ △ADE≌△BAF

∴ AE=BF，DE=AF

連接BD

∵∠AED=∠BCD，∠1=∠DBC

∴∠3=∠4

∴∠ADB=∠EDC

∵AB=AD

∴∠ADB=∠ABD=∠ACD

∴ ∠EDC=∠ACD

∴ DE=CE=AF

∴ AC=AE+CE=BF+DE