Question

某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．

（1）寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P；寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q；
（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？

Answer 1

分析：（1）本題是一次函數(shù)的分段函數(shù)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，需要逐步求解，理解題意，寫出自變量的范圍．為解答（2）打基礎(chǔ)；
（2）的基本等量關(guān)系是：純收益=市場(chǎng)售價(jià)-種植成本．由于P是分段函數(shù)，所以h也是分段函數(shù)，求最大利潤(rùn)，就要在每一個(gè)分段函數(shù)內(nèi)，根據(jù)自變量取值范圍，函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定．

解答：解：（1）由圖-可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為
P=

300-t，0≤t≤200 2t-300，200＜t≤300

由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為
Q=

1

200

（t-150）²+100，0≤t≤300

（2）設(shè)t時(shí)刻的純收益為h，則由題意得h=P-Q，即
h=

- 1 200 t2+ 1 2 t+ 175 2 ；0≤t≤200 - 1 200 t2+ 7 2 t- 1025 2 ；200＜t≤300

當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得
h=-

1

200

（t-50）²+100
所以，當(dāng)t=50時(shí)，h（t）取得區(qū)間[0，200]上的最大值100
當(dāng)200＜t≤300時(shí)，配方整理得
h=-

1

200

（t-350）²+100
所以，當(dāng)t=300時(shí)，h取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5
綜上，由100＞87.5可知，h在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大．

點(diǎn)評(píng)：一次函數(shù)與分段函數(shù)，二次函數(shù)，自變量取值范圍在本題中都得到了體現(xiàn)，要根據(jù)題目給的范圍，找準(zhǔn)等量關(guān)系，分段求最大值．