Question

【題目】如圖，已知拋物線E1：y=x2經(jīng)過點A（1，m），以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B（2，2），點A、B關(guān)于y 軸的對稱點分別為點A′，B′．

（1）求m的值；
（2）求拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；
（3）在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線E1經(jīng)過點A（1，m）
∴m=12=1
（2）∵拋物線E2的頂點在原點，可設(shè)它對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2（a≠0）
又∵點B（2，2）在拋物線E2上
∴2=a×22 ， 解得：a=
∴拋物線E2所對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2
（3）如圖所示：

①當(dāng)點B為直角頂點時，過B作Q1B⊥BB′交拋物線E1于Q，則點Q1與B的橫坐標(biāo)相等且為2，將x=2代入y=x2得y=4，
∴點Q1的坐標(biāo)為（2，4）．
②當(dāng)點Q2為直角頂點時，則有Q2B′2+Q2B2=B′B2 ， 過點Q2作GQ2⊥BB′于G，設(shè)點Q2的坐標(biāo)為（t，t2）（t＞0），則有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4，
整理得：t4﹣3t2=0，
∵t＞0，
∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=﹣（舍去），
∴點Q的坐標(biāo)為（，3），
綜上所述，存在符合條件的點Q坐標(biāo)為（2，4）與（，3）．
【解析】（1）將A（1，m）代入y=x2 ， 求得m的值即可；
（2）設(shè)拋物線E2的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2（a≠0），將點B（2，2）代入拋物線的解析式求得a的值即可；
（3）當(dāng)∠BB′Q=90°時，將x=2代入y=x2 ， 可求得點Q的縱坐標(biāo)，當(dāng)∠BQB′=90°時，設(shè)點Q2的坐標(biāo)為（t，t2），依據(jù)兩點間的距離公式和勾股定理的逆定理列出關(guān)于t的方程求解即可．