Question

（2012•道里區(qū)一模）如圖，△ABC，A（

25

6

，0），B（3，4），將△ABO沿著直線OB翻折，點A落在第二象限內的點C處
（1）求點C的坐標；
（2）動點P從點0出發(fā)以5個單位，秒的速度沿OB向終點B運動，連接AP，將射線AP繞著點A逆時針旋轉與y軸交于一點Q，且旋轉角α=

1

2

∠OAB．設線段0Q的長為d，點P運動的時間為t秒，求d與t的函數關系式（直接寫出時間t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接CP，點P在運動的過程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此時t的值，并判斷點B與以點P為圓心，0Q長為半徑的⊙P的位置關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設C（x，y）．利用兩點間的距離公式可以求得點C的坐標；
（2）如圖1，連接AC，過點B作BG⊥x軸于點G，過點C作CH⊥x軸于點H．需要分類討論：當0≤t＜

1

2

與

1

2

≤t≤1時，兩種情況下的d與t的函數關系式（直接寫出時間t的取值范圍）；
（3）如圖2，過點P作PK⊥AB于點K．假設存在CP∥AQ，利用平行線的性質、旋轉的性質推知PE=PK；然后根據線段間的數量關系可以求得此時的t的值；
欲判斷點B與以點P為圓心，0Q長為半徑的⊙P的位置關系，只需證明點B與圓心P的距離是否等于⊙P的半徑即可．

解答：解：（1）設C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，AB=

(3- 25 6 )2+42

=

25

6

；
又∵將△ABO沿著直線OB翻折，點A落在第二象限內的點C處，
∴OA=OC，AB=CB；
∴

x2+y2= 625 36 (x-3)2+(y-4)2= 625 36

，
解得

x=- 7 6 y=4

，
∴點C的坐標是（-

7

6

，4）；

（2）如圖1，連接AC，過點B作BG⊥x軸于點G，過點C作CH⊥x軸于點H．
∵A（

25

6

，0），B（3，4），
∴OA=

25

6

，OG=3，BG=4，
∴AG=

7

6

，
∴AC=

20

3

（勾股定理）；
∴AE=

10

3

；
同理，OE=

5

2

；
①當0≤t＜

1

2

時，
∵OP=5t，
∴PE=

5

2

-5t，
∴

5 2 -5t

d

=

10 3

25 6

，
∴d=-

25

4

t+

25

8

；
②當

1

2

≤t≤1時，同理：d=

25

4

t-

25

8

；

（3）如圖2，過點P作PK⊥AB于點K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE=

1

2

∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF=

OF

OB

=

PK

PB

=

4

5

；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE=

5

2

-5t，PB=5-5t，
∴

5t- 5 2

5-5t

=

4

5

，
解得，t=

13

18

，
∴存在CP∥AQ，此時t=

13

18

；
∵

1

2

＜

13

18

≤1，
∴t=

13

18

時，OQ=d=

25

4

t-

25

8

=

25

18

，BP=OB-OP=5-5t=5-

13

18

×5=

25

18

，
∴BP=OQ，即點B與圓心P的距離等于⊙P的半徑，點B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此時t=

13

18

，且點B在⊙P上．

點評：本題綜合考查了翻折變換、勾股定理、菱形的性質以及點與圓的位置關系等知識點．注意，解答（2）時，要分類討論，以防漏解．