Question

當x分別等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008時，計算代數(shù)式

x2

1+x2

的值，再把所得的結(jié)果全部加起來．則這個總和為

 

．

Answer 1

分析：本題不可能逐一計算，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵，經(jīng)觀察可得，當x的值互為倒數(shù)時，代數(shù)式的和應(yīng)為定值，經(jīng)計算可得

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1，故所求代數(shù)式的和為2007個1與1個

1

2

的和，故本題得解．

解答：解：當x=a時，

x2

1+x2

=

a2

1+a2

，
當x=

1

a

時，

x2

1+x2

=

1 a2

1+ 1 a2

=

1

1+a2

，
∴當x的值互為倒數(shù)時，代數(shù)式的和為

a2

1+a2

+

1

1+a2

=1．
∴當x分別等于

1

2008

，

1

2007

，

1

2006

，…，

1

2

，1，2，…，2006，2007，2008時，
代數(shù)式的和為：1+1+…+1+

1

2

=2007+

1

2

=2007

1

2

．
故答案為：2007

1

2

．

點評：本題主要考查了學(xué)生的分析、總結(jié)、歸納能力，規(guī)律型的習(xí)題一般是從所給的數(shù)據(jù)和運算方法進行分析，從特殊值的規(guī)律上總結(jié)出一般性的規(guī)律．