Question

【題目】已知：如圖，在半徑為2的扇形中，°，點(diǎn)C在半徑OB上，AC的垂直平分線交OA于點(diǎn)D，交弧AB于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)．

（1）若C是半徑OB中點(diǎn)，求的正弦值；

（2）若E是弧AB的中點(diǎn)，求證：；

（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析；（2）當(dāng)是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為2或．

【解析】

（1）先求出OCOB=1，設(shè)OD=x，得出CD=AD=OA﹣OD=2﹣x，根據(jù)勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1求出x，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出，進(jìn)而得出∠CBE=∠BCE，再判斷出△OBE∽△EBC，即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當(dāng)CD=CE時(shí)，判斷出四邊形ADCE是菱形，得出∠OCE=90°．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，建立方程求解即可；

②當(dāng)CD=DE時(shí)，判斷出∠DAE=∠DEA，再判斷出∠OAE=OEA，進(jìn)而得出∠DEA=∠OEA，即：點(diǎn)D和點(diǎn)O重合，即可得出結(jié)論．

（1）∵C是半徑OB中點(diǎn)，∴OCOB=1．

∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD．設(shè)OD=x，∴CD=AD=OA﹣OD=2﹣x．

在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理得：（2﹣x）2﹣x2=1，∴x，∴CD，∴sin∠OCD；

（2）如圖1，連接AE，CE．

∵DE是AC垂直平分線，∴AE=CE．

∵E是弧AB的中點(diǎn)，∴，∴AE=BE，∴BE=CE，∴∠CBE=∠BCE．

連接OE，∴OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠CBE=∠BCE=∠OEB．

∵∠B=∠B，∴△OBE∽△EBC，∴，∴BE2=BOBC；

（3）△DCE是以CD為腰的等腰三角形，分兩種情況討論：

①當(dāng)CD=CE時(shí)．

∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=CD，AE=CE，∴AD=CD=CE=AE，∴四邊形ADCE是菱形，∴CE∥AD，∴∠OCE=90°，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，∴OD=OA﹣AD=2﹣a．在Rt△OCE中，OC2=OE2﹣CE2=4﹣a2．在Rt△COD中，OC2=CD2﹣OD2=a2﹣（2﹣a）2，∴4﹣a2=a2﹣（2﹣a）2，∴a=﹣22（舍）或a=；∴CD=；

②當(dāng)CD=DE時(shí)．

∵DE是AC垂直平分線，∴AD=CD，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA．

連接OE，∴OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠DEA=∠OEA，∴點(diǎn)D和點(diǎn)O重合，此時(shí)，點(diǎn)C和點(diǎn)B重合，∴CD=2．

綜上所述：當(dāng)△DCE是以CD為腰的等腰三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為2或．