Question

已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊的AB、AC、BC的距離分別是h₁，h₂，h₃，△ABC的高為h，請你探索以下問題：
（1）若點(diǎn)P在一邊BC上（圖1），此時h₃=0，問h₁、h₂與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（2）若當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（圖2），此時h₁、h₂、h₃與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）若點(diǎn)P在△ABC外（圖3），此時h₁、h₂、h₃與h之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系

h=h₁+h₂-h₃

．（請直接寫出你的猜想，不需要說明理由．）

Answer 1

分析：把點(diǎn)P與各頂點(diǎn)分別連接起來．根據(jù)組合圖形的面積與分割成的圖形面積之間的關(guān)系建立關(guān)系式，然后根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求解．

解答：解：
（1）h=h₁+h₂，理由如下：
連接AP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△APC
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂
又∵△ABC是等邊三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂．

（2）h=h₁+h₂+h₃ ，理由如下：
連接AP、BP、CP，則 S_△ABC=S_△ABP+S_△BPC+S_△ACP
∴

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PF+

1

2

BC•PE
即

1

2

BC•h=

1

2

AB•h₁+

1

2

AC•h₂₊

1

2

BC•h₃
又∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h₁+h₂+h₃．

（3）h=h₁+h₂-h₃．
當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時，結(jié)論h₁+h₂+h₃=h不成立．此時，它們的關(guān)系是h₁+h₂-h₃=h．
理由如下：連接PB，PC，PA
由三角形的面積公式得：S_△ABC=S_△PAB+S_△PAC-S_△PBC，
即

1

2

BC•AM=

1

2

AB•PD+

1

2

AC•PE-

1

2

BC•PF，
∵AB=BC=AC，
∴h₁+h₂-h₃=h，
即h₁+h₂-h₃=h．

點(diǎn)評：此題考查等邊三角形的性質(zhì)，運(yùn)用等積法建立關(guān)系構(gòu)思巧妙，也是此題的難點(diǎn)．