Question

【題目】如圖，△OAB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝80°，以點(diǎn)O為圓心，6為半徑的優(yōu)弧弧MN分別交OA、OB于點(diǎn)M，N．

（1）點(diǎn)P在右半弧上（∠BOP是銳角），將OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)80°得，求證：AP＝BP；

（2）點(diǎn)T在左半弧上，若AT與弧相切，求點(diǎn)T到OA的距離；

（3）設(shè)點(diǎn)Q在優(yōu)弧弧MN上，當(dāng)△AOQ的面積最大時(shí)，直接寫出∠BOQ的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí)，△AOQ的面積最大．

【解析】

試題（1）首先根據(jù)已知得出∠AOP=∠BOP′，進(jìn)而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切線的性質(zhì)得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的長(zhǎng)，進(jìn)而得出TH的長(zhǎng)即可得出答案；

（3）當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ面積最大，且左右兩半弧上各存在一點(diǎn)分別求出即可．

試題解析：（1）∵∠AOP＝∠AOB+∠BOP＝80°+∠BOP，

∠BOP′＝∠POP′+∠BOP＝80°+∠BOP，

∴∠AOP＝∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中，，

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP＝BP′；

（2）連接OT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥OA于點(diǎn)H，

∵AT與⊙O相切，∴∠ATO＝90°，

∴AT==8，

∵×OA×TH＝×AT×OT，

∴×10×TH＝×8×6，解得：TH＝，

∴點(diǎn)T到OA的距離為；

（3）如圖，當(dāng)OQ⊥OA時(shí)，△AOQ的面積最大，理由如下：

當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧左側(cè)上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ+∠AOB＝90°+80°＝170°，

當(dāng)Q點(diǎn)在優(yōu)弧MN右側(cè)上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最長(zhǎng)的高，則△AOQ的面積最大，

∴∠BOQ＝∠AOQ－∠AOB＝90°－80°＝10°，

綜上所述：當(dāng)∠BOQ的度數(shù)為10°或170°時(shí)，△AOQ的面積最大.