Question

如圖，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b>2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為      ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為      （用含b的代數(shù)式表示）；

（2）若b=8，請你在拋物線上找點(diǎn)P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）請你探索，在（1）的結(jié)論下，在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）B（b，0），C（0，）；

（2）當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，P（10，4.5）；當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，P（11，7.5）

（3）（1，4），

【解析】

試題分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標(biāo)，令x=0，求出y的值即C的縱坐標(biāo)；

（2）先求出b=8時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，再分∠PAC=90°與∠PCA=90°兩種情況分析即可；

（3）存在，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標(biāo)即可．

（1）在中，當(dāng)y=0時(shí)，x=1或b，

∵b是實(shí)數(shù)且b＞2，點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）；

當(dāng)b=8時(shí)點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（8，0），C（0，2），二次函數(shù)關(guān)系式為

設(shè)直線AC的解析式為

∵圖象過點(diǎn)A（1，0），C（0，2）

∴，解得

∴直線AC的解析式為

當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，設(shè)直線AP的解析式為

∵圖象過點(diǎn)A（1，0）

∴，

∴直線AP的解析式為

聯(lián)立與解得，即此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（10，4.5）；

當(dāng)∠ACP=90°時(shí)，設(shè)直線AP的解析式為

∵圖象過點(diǎn)C（0，2）

∴直線AP的解析式為

聯(lián)立與解得，即此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（11，7.5）；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此時(shí)∠OQB=90°，

由QA⊥x軸知QA∥y軸．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）當(dāng)∠OCQ=90°時(shí)，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO=．

由AQ²=OA?AB得：（）²=b-1．

解得：b=8±4．

∵b＞2，

∴b=8+4．

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，2+）．

（II）當(dāng)∠OQC=90°時(shí)，△OCQ∽△QOA，

∴，即OQ²=OC?AQ．

又OQ²=OA?OB，

∴OC?AQ=OA?OB．即?AQ=1×b．

解得：AQ=4，此時(shí)b=17＞2符合題意，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，4）．

∴綜上可知，存在點(diǎn)Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似．

考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題

點(diǎn)評：二次函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.