Question

如圖1，有一塊30°、60°、90°的三角板所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C，斜邊AB為4個(gè)單位長(zhǎng)度，且A、B兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，記∠BAO=α．（當(dāng)B點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，記α=0°，如圖2所示；當(dāng)A點(diǎn)與O點(diǎn)重合時(shí)，記α=90°，如圖3所示）．

（1）當(dāng)α=0°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

；當(dāng)α=90°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

；
（3）請(qǐng)從α=15°、α=30°、α=45°、α=75°中任意選兩個(gè)角度，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（其中一個(gè)寫出詳細(xì)的求解過程，另一個(gè)直接寫出答案）當(dāng)α=

 

時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（4）根據(jù)前面的探索，當(dāng)α為任意銳角時(shí)，你認(rèn)為點(diǎn)C是否會(huì)落在某條線段上運(yùn)動(dòng)，若存在，請(qǐng)寫出這條線段所在直線的函數(shù)表達(dá)式及自變量的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°=

6 - 2

4

，sin75°=cos15°=

6 + 2

4

）

Answer 1

分析：根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，可求出各邊的長(zhǎng)．

解答：解：（1）(1， 

3

)；(

3

， 3)；（2分）

（2）(2， 2

3

)；（3分）

（3）當(dāng)α=15°時(shí)，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，
在Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，∴AC=2

3

．（4分）
在Rt△ACD中，AC=2

3

，∠DAC=45°，∴CD=DA=

6

．（5分）
在Rt△AOB中，AB=4，∠BAO=15°，
∴OA=4•

6 + 2

4

=

6

+

2

．（6分）
∴OD=OA-DA=

2

．∴C(

2

，

6

)；（7分）
同理：當(dāng)α=30°時(shí)，C(

3

，3)；（9分）
當(dāng)α=45°時(shí)，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）
當(dāng)α=75°時(shí)，C(

6 + 2

2

，

3 2 + 6

2

)；（9分）

（4）y=

3

x(1≤x≤

3

)．（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系．