Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝45°．點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．

（1）如果AB＝AC．如圖①，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）如果AB≠AC，如圖②，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC＝4，BC＝3，CD＝x，求線段CP的長(zhǎng)．（用含x的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直,理由見(jiàn)解析；（2）AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由∠ACB=45°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=45°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可證△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=45°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，可得出AC=AG，易證：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC=4 ，BC=3，CD=x，求線段CP的長(zhǎng)．考慮點(diǎn)D的位置，分兩種情況去解答．①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，已知∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．即DQ=4-x，易證△AQD∽△DCP，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問(wèn)題．②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4，則DQ=4+x．過(guò)A作AQ⊥BC交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解問(wèn)題．

（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直；

證明如下：

∵AB=AC，∠ACB=45°，

∴∠ABC=45°．

由正方形ADEF得AD=AF，

∵∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠DAB=∠FAC，

∴△DAB≌△FAC（SAS），

∴∠ACF=∠ABD．

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．

即CF⊥BD．

（2）AB≠AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立．

理由是：

過(guò)點(diǎn)A作GA⊥AC交BC于點(diǎn)G，

∵∠ACB=45°，

∴∠AGD=45°，

∴AC=AG，

同理可證：△GAD≌△CAF

∴∠ACF=∠AGD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

即CF⊥BD．

（3）過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵∠BCA=45°，可求出AQ=CQ=4．

∴DQ=4﹣x，△AQD∽△DCP，

∴，

∴，

∴．

②點(diǎn)D在線段BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵∠BCA=45°，

∴AQ=CQ=4，

∴DQ=4+x．

過(guò)A作AQ⊥BC，

∴∠Q=∠FAD=90°，

∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，

∴∠ADQ=∠AFC′，

則△AQD∽△AC′F．

∴CF⊥BD，

∴△AQD∽△DCP，

∴，

∴，

∴．